Como resolver integral por partes rapidamente? LIATE

Na graduação em áreas exatas é quase que obrigatório a inscrição em um curso de Calculo Diferencial e Integral. Para muitos se trata de um conteúdo extremamente útil e aplicável em várias áreas profissionais, já para outros é visto como desperdício de tempo e um conteúdo maçante. No primeiro módulo de calculo somos apresentados às integrais, que nada mais é que a somatória infinitesimal de uma região de gráfico ou pode ser dito como o calculo da área de gráficos. Existem uma infinidade de interpretações para as integrais.

Sendo de agrado ou desagrado de muitos, ou de interpretações diferentes, as integrais estão ai, e para sua resolução há vários truques e dicas. Nesse artigo nos limitaremos a falar do método LIATE, entretanto para falarmos disso primeiro devemos entender as integrais por partes.

O que são integrais por partes?

Quando nos deparamos com integrais complicadas que não saberíamos resolver pelo método comum temos o método da integral por parte para facilitar esse processo. E ela pode ser escrita da seguinte forma:

Como resolver as integrais por partes?

Basicamente, dividimos a função a ser integrada em duas, e chamamos ela de u ou de dv.
Segue o exemplo abaixo:

Nesse exemplo, escolhemos x como u, então para obter du basta derivar x. Já como dv escolhemos a função sen(x), então fazemos a integral desta função para obter o v.

A função demonstrada anteriormente nos retorna um v fácil de integrar, no entanto haverá (principalmente em provas) funções que se mal escolhidos os u e dv, podem complicar bastante nossa vida. Para tal existe um truque que é uma mão na roda, o LIATE.

O que é e como resolver integrais com LIATE.

Para não perdermos tempo pensando em qual parte da função utilizar como u ou dv, lembramos do seguinte:

Para escolher o u, iremos pela ordem, de maior prioridade sendo as logarítmicas e as de menor prioridade as exponenciais.
Então, por exemplo, na hora de integrar f(x)= x sen(x), escolheremos x como sendo u, pois funções algébricas vem antes das trigonométricas no LIATE.

Segue agora alguns exemplos:

Antes de concluirmos devo alertar que nem sempre esse método funciona, as vezes acontece de terminarmos com uma integral pior do que começamos. Porém esse método é muito abrangente, sendo apenas pouquíssimos os casos de exceções. Ah, vale ressaltar que as vezes teremos que usar integral por partes duas vezes, mas esse caso, também, é bem raro.

Bom, é isso pessoal. Agora é sair por ai integrando tudo e sendo feliz.
Bons estudos! 😉